求

arctanx

次方的原函数是数学中的一道重要的题目，它有着深刻的数学结构

以及数学解法，能够帮助我们更好地理解数学公式。在数学上，

arctanx

是正切函

数的反函数，它表示为：

tan^(-1)x = x - (1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + (1/9)x^9 - 

(1/11)x^11 + 

⋯

由该反函数可知，把正切函数求出原函数，就变成了求原函数其

arctanx

次方

了，即求：

y=arctan^nx=tan^(-1) 

[tan(x)]^n……（

1

）

首先，我们采用极限的方式对上式（

1

）进行求解，即把

tan^(-1)x

的函数表

达式带入，可得：

(1/3)x^3 - (1/5)x^5 + (1/7)x^7 - (1/9)x^9 + (1/11)x^11= (1/n)tan^nx 

+ tan^(n-1) (-1)(1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + (1/9)x^9 - 

(1/11)x^11……（

2

）

其次，我们分解公式（

2

），经过多次运算，确定原函数的形式。

相应的，对于

arctan^nx

的原函数的解析解表达式可以写成：

y = x + (1/n)(-1)^(n-1)[a_1x^3 + a_2x^5 + a_3x^7 + a_4x^9 + a_5x^11 

+ 

⋯

] 

其中，a_i(i=1,2,3,4,5…)是常数，可以由分步积分解得。

从上文可知，求

arctan^nx

的原函数是正切函数

arctanx

次方原函数的求解过

程，可以首先使用反函数的表达式和特定导数级数求出

arctanx

在当前函数上的反

函数，并将其替换到特定的定积分形式，进而求得所需的系数解析求解原函数。